---

Ἡ Μέτρηση

Ὁρισμοί

• Φυσικὸ Μέγεθος (ἢ ἁπλὰ Μέγεθος) καλεῖται ὁποιαδήποτε φυσικὴ ὀντότητα μπορεῖ νὰ ὁρισθεῖ σαφῶς.
• Μέτρηση εἶναι ἡ συσχέτιση δύο μεγεθῶν, τῆς ἴδιας φυσικῆς ὀντότητας τὸ ἕνα τῶν ὁποίων λαμβάνεται ὡς τοῦ εἴδους ἡ μονάδα.
• Μονάδα ἑνὸς μεγέθους μπορεῖ νὰ εἶναι μιὰ ὁποιαδήποτε πλήρως καὶ σαφῶς ὁρισμένη ποσότητα τοῦ θεωρουμένου μεγέθους.
• Ἀβεβαιότητα ἢ σφάλμα μιᾶς μέτρησης (φυσικοῦ μεγέθους) καλεῖται ἡ περιοχὴ γύρω ἀπὸ τὴν μετρηθεῖσα τιμή, μέσα στὴν ὁποία βρίσκεται ἡ πραγματικὴ/ἀληθινὴ τιμὴ τῆς μετρηθείσας ποσότητας. Ἡ καλύτερη καὶ ἀκριβέστερη μέθοδος θὰ μᾶς δώσει μικρότερη ἀβεβαιότητα.
• Συστηματικὰ σφάλματα εἶναι αὐτὰ ποὺ ὀφείλονται σὲ προβλέψιμες (συστηματικὲς) ἀτέλειες τοῦ ὀργάνου, ἢ τῆς μεθόδου ποὺ χρησιμοποιήθηκε στὴν μέτρηση.
• Τυχαῖα ἢ στατιστικὰ σφάλματα εἶναι αὐτὰ ποὺ ὀφείλονται σὲ πολλοὺς ἀπρόβλεπτους παράγοντες, μεταβάλλονται μὲ ἀκανόνιστο τρόπο ἀπὸ μέτρηση σὲ μέτρηση καὶ εἶναι ἐξίσου πιθανὸ νὰ εἶναι θετικὰ ἢ ἀρνητικά.
• Στατιστική, Μέση τιμή, Γκαουσιανὴ κατανομή, Τυπικὴ ἀπόκλιση, εἶναι τὰ ἀπαραίτητα ἐργαλεία γιὰ τὴν «Ἐπεξεργασία τῶν Μετρήσεων»

Τὰ μετρολογικὰ χαρακτηριστικὰ τοῦ Ὀργάνου, ποὺ πρέπει νὰ γνωρίζουμε σαφῶς πρὶν ἀπὸ κάθε μέτρηση:

1. Διακριτικὴ ἱκανότητα (resolution), εἶναι ἡ ἐλάχιστη μείωση ἢ αὔξηση τοῦ μετρουμένου μεγέθους ποὺ μπορεῖ νὰ ἀναγνωρισθεῖ ἀπὸ τὸ μετρητικὸ ὄργανο.
2. Εὗρος μέτρησης (range), εἶναι ἡ διαφορὰ μεταξὺ τῆς μεγαλύτερης καὶ τῆς μικρότερης τιμῆς ποὺ εἶναι δυνατὸν νὰ μετρηθοῦν μὲ τὸ συγκεκριμένο ὄργανο/μέθοδο. Καθορίζει τὸ ἐλάχιστο "σχετικὸ σφάλμα" μιᾶς μέτρησης στὴ πλήρη κλίμακα τοῦ ὀργάνου.
3. Εὐαισθησία (sensitivity), εἶναι ὁ λόγος τῆς μεταβολῆς τῆς ἔνδειξης τοῦ ὀργάνου πρὸς τὴ μεταβολὴ τοῦ μετρούμενου μεγέθους (συνδέεται μὲ τὴν διακριτικὴ ἱκανότητα τοῦ ὀργάνου).
4. Ἡ Διακρίβωση ἢ βαθμονόμηση (calibration) ἑνὸς ὀργάνου, εἶναι μιὰ ἀπαραίτητη διαδικασία γιὰ τὸν ἔλεγχο τῆς ἀξιοπιστίας τοῦ ὀργάνου. Εὐθύνῃ τοῦ ἐρευνητῆ εἶναι νὰ μετρᾷ μὲ διακριβωμένα ὄργανα.

Εἴδη Μετρήσεων

1. Μετρήσεις φυσικῶν μεγεθῶν. Π.χ. τοῦ μήκους μίας ράβδου, ἢ τῆς θερμοκρασίας ἑνὸς ὑγροῦ, τῆς περιόδου μιᾶς περιοδικῆς στὸ χρόνο κίνησης κ.λπ.
2. Προσδιορισμὸς «Σταθερῶν» καὶ «Θεωρητικῶν Μεγεθῶν», ὅπως π.χ. τοῦ φορτίου τοῦ ἠλεκτρονίου (e), τῆς ταχύτητος τοῦ φωτὸς (c), τῆς σταθερά του Plank (h), κ.λπ.
3. Μετρήσεις στατιστικῶν δεδομένων. Π.χ. πὼς κατανέμεται ἕνας πληθυσμὸς σὲ διαστήματα ἡλικίας: μέχρι 10 ἐτῶν, 10 ἐως 20 ἐτῶν, κ.λπ.

Ὄργανα Μετρήσεων

1. Ἀναλογικά, συνήθως ὡς ἀβεβαιότητα (σφάλμα) λαμβάνεται ἡ διακριτικὴ τους ἱκανότητα.
2. Ψηφιακά, συνήθως ὡς ἀβεβαιότητα (σφάλμα) λαμβάνεται μία μονάδα στὸ τελευταῖο εὐκρινῶς ἀναγνώσιμο σημαντικὸ ψηφίο (ἐκτὸς ἂν διαφορετικὰ ὁρίζεται ἀπὸ τὸν κατασκευαστή)

Οἱ ἀπαραίτητες προϋποθέσεις γιὰ μιὰ καλῇ μέτρηση εἶναι:

• Ἡ γνώση τῶν μετρολογικῶν χαρακτηριστικῶν τοῦ Ὀργάνου.
• Ὁ σωστὸς καὶ προσεκτικὸς χειρισμὸς τοῦ Ὀργάνου.
• Οἱ «Συνθῆκες ὁμαλῆς λειτουργίας» του, νὰ ἐξασφαλίζονται σχολαστικά.

Τὸ «ἀδύνατον» τῆς ἀκριβοῦς μέτρησης

Ἐνδεικτικὰ ἀναφέρω μερικὰ παραδείγματα.

• Ἡ ἀρχὴ καὶ τὸ τέλος ἑνὸς χρονικοῦ διαστήματος δὲν προσδιορίζονται ἐπακριβῶς.
• Ἡ ἀκρίβεια καὶ ἡ ἀξιοπιστία τῶν ὀργάνων ποὺ χρησιμοποιοῦμε κάθε φορά εἶναι περιορισμένη.
• Συχνὰ τὸ μῆκος μιᾶς ράβδου εἶναι ἀδύνατον νὰ προσδιορισθεῖ ἐπακριβῶς, (αὐτὸ γενικῶς ἰσχύει γιὰ τὰ ὅρια ὁποιουδήποτε φυσικοῦ μεγέθους).
• Εἶναι γνωστὸ ἀπὸ τὴν ἀρχαιότητα ὅτι ἡ διαγώνιος τοῦ τετραγώνου δὲν ἐκφράζεται ὡς κλάσμα τῆς μορφῆς (α/β), ὅπου α καὶ β ἀκέραιοι ἀριθμοί. Αὐτὸ σημαίνει ὅτι ἂν ἡ πλευρὰ ΑΔ εἶναι 1m, τὸ μῆκος ΑΓ (ρίζα 2 m) δὲν δίδεται ἀπὸ δεκαδικὸ ἀριθμὸ μὲ πεπερασμένο ἀριθμὸ ψηφίων. Μπορεῖ ὅμως νὰ ἐκφραστεῖ μὲ ὅση ἀκρίβεια χρειαζόμαστε (μὲ ἐπαρκῆ ἀριθμὸ ψηφίων).

Μορφὲς γραφῆς τοῦ ἀποτελέσματος μέτρησης ἑνὸς φυσικοῦ Μεγέθους

Θεωροῦμε ὡς παράδειγμα τὴ μέτρηση σὲ μέτρα (m) τοῦ μήκους (L) μιᾶς ράβδου.
Τὸ ἀποτέλεσμα μπορεῖ νὰ γραφτεῖ μὲ τρεῖς διαφορετικοὺς τρόπους ὡς ἑξῆς:

1. L = 30,73 ± 0,01 m
2. L = 30,73 m μὲ σχετικὸ σφάλμα 0,03%
3. L = 30,73 m κατὰ σύμβαση τὸ τελευταῖο σημαντικὸ ψηφίο, τὸ «3» διαβάζεται ὡς «3 ±1».

Ὁ ἀναγνώστης θὰ ἐπιβεβαιώσει ὅτι οἱ ἀνωτέρω τρόποι γραφῆς «σημαίνουν» τὸ ἴδιο ἀποτέλεσμα.
Γενικῶς το ἀπόλυτο σφάλμα τὸ δίνουμε μὲ ἕνα σημαντικὸ ψηφίο, ἡ θέσῃς τοῦ ὁποίου μᾶς "δείχνει" τὸ τελευταῖο σημαντικὸ ψηφίο της τιμῆς τοῦ μεγέθους στὸ ὁποῖο ἀναφέρεται.
Στὴ τρίτη μορφὴ γραφῆς (μέσῳ τῶν σημαντικῶν ψηφίων), θεωρεῖται κατὰ σύμβαση ἡ ἀβεβαιότητα τῆς μέτρησης μία μονάδα τὸ τελευταῖο σημαντικὸ ψηφίο.
Ἂν αὐτὸ δὲν ἰσχύει τότε ἡ μέτρηση πρέπει νὰ δοθεῖ μὲ μιὰ ἀπὸ τίς δύο παραπάνω μορφὲς (ἢ μὲ τὸ ἀπόλυτο, ἢ μὲ τὸ σχετικὸ σφάλμα)..

Μέθοδοι ἐκτίμησης καὶ ὑπολογισμοῦ τῆς ἀβεβαιότητας (σφάλματος) μιᾶς Μέτρησης.

• Ἡ διακριτικὴ ἱκανότητα καὶ ἡ ἀξιοπιστία τῶν «ὀργάνων» μέτρησης πρέπει νὰ ἐκτιμοῦνται ἐμπεριστατωμένα ἀπὸ τὸν ἐρευνητή.
• Ἡ ἀπαίτηση γιὰ "διακρίβωση" τῶν ὀργάνων εἶναι τὸ πρῶτο μέλημα γιὰ σωστὲς μετρήσεις.
• Ἡ ἀβεβαιότητα (σφάλμα) ἀπὸ τὴν ἀνάγνωση τοῦ ὀργάνου ἐκτιμᾶται ὡς ποσοστὸ τῆς διακριτικῆς του ἱκανότητος, καὶ πάντα δίνεται μὲ ἕνα σημαντικὸ ψηφίο.
• Ἡ «ἀνάγνωση τοῦ μηδενὸς», ἢ ἡ «διόρθωση τοῦ μηδενὸς» ἑνὸς ὀργάνου (γιὰ ὅσα ὄργανα δὲν ἔχουν «κομβίον μηδενισμοῦ»), δὲν θεωρεῖται σφάλμα, ἀλλὰ πρέπει νὰ γίνεται προσεκτικά.
• Τὰ συστηματικὰ σφάλματα μποροῦμε καὶ ὀφείλουμε νὰ ἐξαλείψουμε κατὰ τὴν μέτρηση ἢ στὴν ἑρμηνεία τῆς μέτρησης. Ἡ μέθοδος ἀντιμετώπισης τῶν ὅποιων σφαλμάτων ἐξαρτᾶται ὡς ἕνα βαθμὸ ἀπὸ τὴν ἐμπειρία, τίς γνώσεις καὶ τὴν ἐφευρετικότητα τοῦ ἐρευνητῆ.
• Γραφικὲς παραστάσεις μετρήσεων ἑνὸς μεγέθους ὡς συνάρτηση μιᾶς παραμέτρου, π.χ. τοῦ ὄγκου ἑνὸς σώματος ὡς συνάρτηση τῆς θερμοκρασίας, συχνὰ βελτιώνουν τὴν κατανόηση καὶ τὴν ἀκριβὴ περιγραφῇ ἑνὸς φαινομένου.
• Ἀκριβεῖς Μετρήσεις εἶναι μόνο οἱ μετρήσεις «ὁρισμένων» («διακεκριμένων») μεγεθῶν, π.χ. ἡ χωρητικότητα ἑνὸς σκληροῦ δίσκου, οἱ μαθητὲς μιᾶς αἴθουσας κλπ

Ἡ διάδοση τοῦ σφάλματος καὶ οἱ τρεῖς μέθοδοι ὑπολογισμοῦ του

Διάδοση σφάλματος. Τὸ σφάλμα σ' ἕνα μέγεθος, τὸ ὁποῖο ὑπολογίζεται ἐμμέσως ἀπὸ ἄλλα μετρήσιμα μεγέθη, ὑπολογίζεται ἀπὸ τὰ σφάλματα τῶν μεγεθῶν ποὺ τὸ προσδιορίζουν μὲ μία ἀπὸ τίς παρακάτω μεθόδους.

1. Μέθοδος Παραγώγων.
   Λαμβάνουμε τὴν τετραγωνικὴ ρίζα τοῦ ἀθρίσματος τῶν τετραγώνων τῶν μερικῶν παραγώγων τῆς σχέσης στὴν ὁποία εἶναι τὰ μετρούμενα μεγέθη
2. Μέθοδος Σχετικοῦ σφάλματος
   Στὴν μέθοδο αὐτὴ προσθέτουμε τὰ σχετικὰ σφάλματα ὅλων τῶν μετρημένων μεγεθῶν ποὺ ὑπεισέρχονται στὴν διάδοση καὶ ἔχουμε ἔτσι τὸ σχετικὸ σφάλμα τοῦ τελικοῦ μεγέθους. Ἐξ αὐτοῦ ὑπολογίζουμε τὸ ἀπόλυτο σφάλμα, αὐτὸ στρογγυλοποιεῖται στὸ «ἕνα» σημαντικὸ ψηφίο, ἡ θέσῃ τοῦ ὁποίου μᾶς ὑποδεικνύει τὸν ἀριθμὸ τῶν σημαντικῶν τῆς τελικῆς τιμῆς.
   Παράδειγμα: ἡ ταχύτητα ὑ ἑνὸς τραίνου ποὺ διανύει
   ἀπόσταση S=(47,33 ±0,02) m (σχετικὸ σφάλμα 0,04 % )
   σὲ χρόνο t=(3,77 ± 0,03) s (σχετικὸ σφάλμα 0,8 %) εἶναι:
   υ=s/t = 47,33/3,77 m/s = 12,55437665...m/s μὲ ὁλικὸ σχετικὸ σφάλμα (0,04+0,8) % = 0,84 % = 0,8 %.
   Άρα το 0,8 % του 12,55437665... ποὺ εἶναι 0.1 εἶναι τὸ ἀπόλυτο σφάλμα τῆς ταχύτητας.
   Ἑπομένως ἡ ταχύτητα θὰ γραφεῖ υ=(12,6 ± 0,1) m/s
3. Μέθοδος Σημαντικῶν ψηφίων.
   Στὴ μέθοδο τῶν σημαντικῶν ψηφίων τὸ μέγεθος μὲ τὰ λιγότερα σημαντικὰ ἐπιβάλλεται. Τὸ τελικὸ ἀποτέλεσμα ἔχει τόσα σημαντικὰ ψηφία ὅσα ἔχει τὸ μέγεθος μὲ τὰ λιγότερα σημαντικά, ἀπὸ ὅλα τὰ μεγέθη ποὺ ὑπεισέρχονται στοὺς ὑπολογισμούς. Στὸ προηγούμενο παράδειγμα τὸ διάστημα ἔχει 4 σημαντικὰ ψηφία ὁ χρόνος 3 σημαντικά, ἄρα τὸ ἀποτέλεσμα πρέπει νὰ ἔχει καὶ αὐτὸ 3. Δηλαδὴ γράφουμε υ=12,6 m/s
   
   * Ἡ πρώτη μέθοδος μὲ τίς «παραγώγους» εἶναι ἡ πιὸ αὐστηρή. Ἡ δεύτερη μὲ τὸ «σχετικὸ σφάλμα» εἶναι μιὰ ἐνδιάμεσος, καὶ ἡ τρίτη μὲ τὰ «σημαντικὰ ψηφία» εἶναι ἡ πιὸ σύντομος ἀλλὰ ἔχει τὴν ἀδυναμία τοῦ δεκαδικοῦ συστήματος νὰ ἐξισώνει μετρήσεις μὲ ἴδια σημαντικά,. πχ τὸ 11 καὶ τὸ 99 τὰ θεωρεῖ ἴδια (2 σημαντικὰ), ἐνῶ ἔχουν 10% καὶ 1% σχετικὸ σφάλμα ἀντίστοιχα. Στὸ δυαδικὸ σύστημα δὲν ἔχουμε τόσο ἔντονο αὐτὸ τὸ φαινόμενο, ἐκεῖ τὰ σημαντικὰ ψηφία τὰ ὀνομάζουμε bits καὶ εἶναι ἀρκετὰ ἱκανοποιητικὴ ἡ προσέγγιση τῆς ἀκρίβειας τῶν μετρήσεων μέσῳ αὐτῶν.

Γενικὲς ἀρχὲς γιὰ ἀξιόπιστες Μετρήσεις

1. Ἡ κάθε μέτρηση εἶναι μοναδικὴ καὶ σὰν τέτοια πρέπει νὰ ἀντιμετωπίζεται.
2. Ἡ ἀβεβαιότητα (τὸ σφάλμα) μιᾶς μέτρησης δὲν μπορεῖ νὰ μειωθεῖ ἐκ τῶν ὑστέρων, μὲ κάποιο ὑπολογισμό.
3. Ἡ ὅποια μετατροπὴ μονάδος δὲν ἀλλάζει τὴν ἀκρίβεια (τὰ σημαντικὰ ψηφία) της μέτρησης.
4. Ἡ ἐμπειρία, οἱ γνώσεις καὶ ἡ ἐφευρετικότητα τοῦ ἐρευνητῆ μᾶς ἐγγυῶνται τὴν σωστὴ μέτρηση.

Συστήματα Μονάδων, Προθέματα.

• Ἡ «Μονάδα» εἶναι ἕνα ἀπὸ τὰ βασικὰ στοιχεῖα τῆς Μέτρησης, χωρὶς αὐτὴν Μέτρηση δὲν νοεῖται.
• Ὑπάρχουν διάφορα «Συστήματα μονάδων», σήμερα κυριαρχεῖ τὸ «Διεθνὲς Σύστημα» (S.I.), ἐπίσης χρησιμοποιεῖται λιγότερο καὶ τὸ «cgs».
• Ὅλες οἱ μετρήσεις πρέπει νὰ μετατρέπονται σὲ ἕνα σύστημα Μονάδων γιὰ νὰ γίνουν σωστὰ οἱ ὑπολογισμοί.

Πρόθεμα	Σύμβολο	Συντελεστής
yotta	Y	1 000 000 000 000 000 000 000 000	= 10 24
zetta	Z	1 000 000 000 000 000 000 000	= 10 21
exa	E	1 000 000 000 000 000 000	= 10 18
peta	P	1 000 000 000 000 000	= 10 15
tera	T	1 000 000 000 000	= 10 12
giga	G	1 000 000 000	= 10 9
mega	M	1 000 000	= 10 6
kilo	k	1 000	= 10 3
hecto	h	100	= 10 2
deca	da	10	= 10 1
		1
deci	d	0.1	= 10 -1
centi	c	0.01	= 10 -2
milli	m	0.001	= 10 -3
micro	µ	0.000 001	= 10 -6
nano	n	0.000 000 001	= 10 -9
pico	p	0.000 000 000 001	= 10 -12
femto	f	0.000 000 000 000 001	= 10 -15
atto	a	0.000 000 000 000 000 001	= 10 -18
zepto	z	0.000 000 000 000 000 000 001	= 10 -21
yocto	y	0.000 000 000 000 000 000 000 001	= 10 -24

Ἡ Ἀναγκαιότητα τῆς Μέτρησης

• Ἡ Μέτρηση εἶναι σίγουρα ἕνα ἀπὸ τὰ πιὸ ἐκπληκτικὰ καὶ θαυμαστὰ μέσα προόδου τοῦ ἀνθρώπινου Πολιτισμοῦ.
• «Ἐπιστῆμες» χωρὶς μετρήσεις εἶναι σὲ τελευταία ἀνάλυση ἁπλὲς ὑποθέσεις.
• Σήμερα ἡ μέτρηση παίζει σημαντικὸ ρόλο ὄχι μόνο στὶς θετικὲς ἐπιστῆμες , ἀλλὰ καὶ στὶς οἰκονομικὲς καὶ κοινωνικές.

Τὸ π στὶς μετρήσεις

• π=3,141 592 653 589 793 238 4626 ...
• Τὸ π ὑπεισέρχεται στοὺς ὑπολογισμοὺς πολλῶν ἐμμέσων μεγεθῶν, πχ στὸν ὑπολογισμὸ τοῦ ὄγκου σφαίρας ἀπὸ τὴν διάμετρο.
• Στὶς πράξεις τὸ π τὸ παίρνουμε μὲ τοὐλάχιστον τόσα σημαντικὰ ψηφία ὅσα ἔχει καὶ ἡ μέτρηση μὲ τὰ λιγότερα σημαντικά! (Τὸ ἴδιο ἰσχύει καὶ γιὰ τίς λοιπὲς "σταθερὲς καὶ "θεωρητικὰ μεγέθη", ὅπως π.χ. του e, c, h, κ.λπ.)
• Στὴν πραγματική του λειτουργία τὸ π εἶναι μονάδα γωνίας.
• Περισσότερα γιὰ τὸ π, ἐδῶ

Ἀνέκδοτα μετρήσεων

• Ἡ ἡλικία τοῦ Βράχου. Εἶπε κάποτε ὁ κοινοτάρχης ἑνὸς ὀρεινοῦ χωριοῦ σὲ κάποιον ἐπίσημο ἐπισκέπτῃ δείχνοντάς του ἕναν ἐντυπωσιακὸ κρεμαστὸ βράχο, ὅτι «αὐτὸς ὁ βράχος εἶναι ἡλικίας 2 ἑκατομμυρίων ἐτῶν καὶ ἑπτὰ (7) μηνῶν». Καὶ στὴν ἐρώτηση τοῦ ἐπισκέπτῃ «Πῶς γνωρίζετε μὲ τόση ἀκρίβεια τὴν ἡλικία τοῦ βράχου;» αὐτὸς ἀπάντησε: «Εἶναι πολὺ εὔκολο γιὰ μας νὰ τὴν ξέρουμε, πρὶν ἑπτὰ μῆνες τὸν μέτρησε κάποια ἐρευνητικὴ ὁμάδα τοῦ ΕΜΠ καὶ τοῦ Δημοκρίτου, καὶ τὸν χαρακτήρισαν "ἡλικίας 2 ἑκατομμυρίων ἐτῶν"»!
• Ὁ ἐξωγήινος καὶ ἡ ἐγκυκλοπαίδεια. Κάποτε ἕνας ἐξωγήινος ζήτησε νὰ τοῦ δώσουμε ὅλη τὴ γνώση ποὺ ἔχουμε στὴ Γῆ. Τοῦ προτείναμε νὰ πάρει τὴν «τάδε» ἐγκυκλοπαίδεια. Ἀπήντησε ὅτι δὲν μπορεῖ νὰ μεταφέρει «ὕλη» μὲ τὸ διαστημόπλοιό του, ἀλλὰ τελικὰ θὰ ἔπαιρνε ὅλη τὴ γνώση ποὺ περιέχει ἡ ἐγκυκλοπαίδεια, χαράσσοντας μιὰ κουκκίδα σὲ ἕνα ραβδάκι ποὺ εἶχε μαζί του. Στὴ εὔλογη ἀπορία μας «πὼς εἶναι αὐτὸ δυνατόν;» μᾶς ἐξήγησε: «Ἀρχικὰ θὰ ἀντιστοιχίσω ὅλα τὰ γράμματα καὶ τὰ σύμβολα μὲ ἀριθμούς. Ὕστερα θὰ μετατρέψω ὅλο τὸ κείμενο, διαβάζοντας το καὶ ἀποτυπώνοντάς το σύμφωνα μὲ τὴν προηγούμενη ἀντιστοίχιση, σὲ ἕναν ἀριθμό. Τὸν ἀριθμὸ θὰ τὸν κάνω δεκαδικό, βάζοντας τοῦ μπροστὰ τὸ μηδὲν "0," καὶ θὰ πάρει τὴ μορφὴ π.χ. 0,345 789 487 948 57...875 958. Θὰ χαράξω τέλος τὴν κουκκίδα ἔτσι ὥστε τὰ μήκη ποὺ θὰ σχηματιστοῦν στὸ ραβδάκι νὰ ἔχουν λόγο τὸν ἀριθμὸ αὐτόν.
  
  Στὸν πλανήτη μου ὅταν ἐπιστρέψω θὰ μετρήσουμε τὰ μήκη α καὶ β καὶ θὰ κατασκευάσουμε τὸν ἀριθμὸν αὐτόν. Ἔτσι λοιπὸν ἀπὸ τὸν ἀριθμὸ ἀκολουθῶντας ἀντίστροφη διαδικασία θὰ κατασκευάσουμε ὅλη τὴν ἐγκυκλοπαίδεια,